simulazione+2

dove l'angolo alpha è l'angolo tra il piano e la verticale. In tal caso, in base ai nostri calcoli, la relazione da verificare è la seguente: Fissiamo solo la distanza verticale fra il punto iniziale e quello finale e indichiamola con 2//a// (in modo da non cambiare molto la notazione precedente), così come abbiamo indicato con //l// la distanza orizzontale. La condizione che ne deriva, affinché il tempo di percorrenza sia minimo, dovrebbe essere (da verificare!):
 * Se tutto funzione bene cominciamo ad introdurre l'attrito dinamico e ripetiamo i procedimenti utilizzati in precedenza. La forza di attrito dinamica si scrive:[[image:CodeCogsEqn9.gif align="center"]]
 * Per migliorare i risultati (forse!) si potrebbe non fissare nemmeno la larghezza //a// delle strisce, ma lasciarla arbitraria, e fissare solo il punto iniziale e finale:

dove:


 * Dvidiamo poi il piano in un numero arbitrario di strisce, risolviamo il sistema che ne deriva e costruiamo per punti la curva che il corpo deve percorrere affinchè il tempo sia minimo. Confrontiamola graficamente con la cicloide per analizzare se, o in quali condizioni, le differenze sono sensibili.