Brachistocrona+-+segmento+o+arco+di+cicloide?

Si voleva rispondere alla seguente domanda (in sintesi): "Considerando l'attrito, la cicloide rimane la curva brachistocrona?"

Di primo acchito pare che il problema non sia di semplice risoluzione. Quindi propongo il seguente esercizio preliminare:

Confrontare i risultati **(1.)** **(2.)** ."
La mia ipotesi è, in sostanza, questa: introducendo l'attrito, //può darsi// che il punto materiale giunga in B in un tempo minore percorrendo la traiettoria rettilinea rispetto all'arco di cicloide. Non si troverà la traiettoria brachistocrona, ma se la congettura è corretta, è possibile affermare che la cicloide non è la curva brachistocrona in presenza di attrito.

Sarà un'idea balzana, forse anche errata, ma non dovrebbe essere di difficile verifica.

Il punto **(1.)** è fattibile dagli studenti delle classi //IV//, se avessero voglia e/o tempo.

Per il punto **(2.)** ho incontrato qualche difficoltà legata al fatto che la mia capacità nel trattare espressioni matematiche riguardanti la fisica è ancora da affinare. In particolare ho trovato che il lavoro compiuto dall'attrito è:

L(att.) = m g sin( a ) u s

Laddove m è la massa a è l'angolo che la normale alla superficie forma con l'asse delle x u è il coefficiente di attrito dinamico s è la lunghezza dell'arco

{ x(t) = p ( t - sin(t) ) { y(t) = p ( cos(t) - 1) [ il cambiamento di segno è dovuto al fatto che prendo la cicloide decrescente in (0, pigreco) ]

Prendendo p = 1 (cioè imponendo che il punto B giacia sulla cicloide caratterizzata dall'avere p = 1) e lavorando con la derivata della cicloide y' = - cotg( t/2 )

ho trovato:

sin( a ) = 1/sqrt[ 1 + cotg^2( t/2 ) ]

Quindi avrei un integrale definito che non saprei come risolvere.

La risposta la trovi nel. Buon lavoro.

  